原假设与备择假设¶
临界值法和p-value法都可以用于检验关于总体比例p的假设。对于某个介于0和1之间的特定数(比例)$p_0$，原假设的形式为$$H_0:p=p_0$$
对于原假设中出现的数字$p_0$，备选假设将是三个不等式之一: $$p<p_0,p>p_0,p\neq p_0$$
置信区间¶
大样本比例估计的置信度约99%的置信区间为(注意，这里的3是3个标准误的含义)： $$\left[\hat{p}-3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$$
这里置信区间的构造遵循的是中心极限定理，所以采用的分位数也是标准正态分布的分位数。
标准化统计量¶
关于单一总体比例的大样本假设检验的标准化检验统计量：
$$Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$拒绝域¶
每种备选假设形式(左尾、右尾或双尾)的标准化检验统计量和相应的拒绝区域的分布如下图所示：
案例¶
一家软饮料制造商声称，大多数成年人更喜欢该公司的饮料。为了验证这一说法，有记者进行了随机采访，500名受访者被随机分配了两种饮料。其中，270人选择该软饮料制造商的品牌，211人选择竞争对手的品牌，19人无法决定。确定是否有足够的证据，在5%的显著性水平上，支持软饮料制造商的说法？
解： 我们使用临界值方法来进行检验。
- Step 1:检验样本量是否足够大
所以
$$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=[0.54-(3)(0.02),0.54+(3)(0.02)]=[0.48,0.60]\in[0,1]$$样本足够大。
- Step 2:构建原假设与备择假设 $$H_0:p=0.5$$ $$H_a:p> 0.5$$ 这里取0.05的显著性水平
其中$p$表示喜欢该公司饮料超过其竞争对手饮料的所有成年人的比例。
Step 3: 计算标准化后的统计量 $$Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0.54-0.50}{\sqrt{\frac{0.5(0.5)}{500}}}=1.789$$
Step 4: 做出判断 这是一个右尾检验，因此有一个单一的临界值，$z_\alpha=z_{0.05}$,查表得其临界值为1.645，所以拒绝域为$[1.645，\infty)$。1.789落在了拒绝域中，所以数据提供了充分的证据，在5%的显著性水平，可以得出结论，大多数成年人更喜欢该公司的饮料。
参考资料